十分世話が出来るのに、保健所に連れていって殺すことは、罪にならないのですか？

現在の日本の法律では罪にはなりません。
保健所ではなく、動物を捨てることは罪になります。法律で罰せられないからといって、無理やり保健所に動物を連れて行くことは倫理的に問題のある行為であることには変わりありません。
世間の目があるから保健所に連れて行くことのできない、といった環境を作りましょう。

さらに、終生飼養が義務だからといって、ネグレクト状態（動ける範囲が少ないつなぎ飼い、散歩に行かない、閉じ込め続ける、餌が不足する、清掃が不足する、水が汚い、などなど）は動物虐待罪に当たります。動物を飼育することは簡単では有りません、20年、オウムや亀など寿命の長い動物は70年、100年飼育できる自信がなければ、絶対に飼育し始めてはなりません。